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<!DOCTYPE html>

<title>Stromfunktion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Stromfunktion</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die Stromfunktion (Formelzeichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.513ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi }" loading="lazy">, <a href="Dimension_(Gr%C3%B6%C3%9Fensystem)" title="Dimension (Größensystem)">Dimension</a> L² T−1) ist in der <a href="Str%C3%B6mungsmechanik" title="Strömungsmechanik">Strömungsmechanik</a> ein analytisches Hilfsmittel zur Lösung der Bewegungsgleichungen in ebenen, stationären Strömungen <a href="Inkompressibilit%C3%A4t" title="Inkompressibilität">inkompressibler</a> <a href="Fluid" title="Fluid">Fluide</a>. Die Annahme der Inkompressibilität ist für Flüssigkeiten bei moderaten Drücken und für Gasströmungen weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit eine häufig sinnvolle Näherung. Aus <a href="Differentialrechnung#Ableitungsfunktion" title="Differentialrechnung">Ableitungen</a> der Stromfunktion ergibt sich das Geschwindigkeitsfeld, das dann automatisch wie bei einem inkompressiblen Fluid divergenzfrei ist. Die Höhenlinien, auf denen der Wert der Stromfunktion konstant ist, stellen <a href="Stromlinie" title="Stromlinie">Stromlinien</a> dar, was namensgebend für diese Funktion ist. Das Konzept der Stromfunktion kann in Form der <a href="Stokessche_Stromfunktion" title="Stokessche Stromfunktion">Stokes’schen Stromfunktion</a> auch auf <a href="Achsensymmetrie#Rotationskörper" title="Achsensymmetrie">achsensymmetrische</a> Strömungen angewendet werden.

Ist die Strömung <a href="Viskosit%C3%A4t" title="Viskosität">viskositäts</a>- und wirbelfrei, wie in <a href="Potentialstr%C3%B6mung" title="Potentialströmung">Potentialströmungen</a>, dann ist die Stromfunktion der imaginäre Teil des komplexen <a href="Geschwindigkeitspotential" title="Geschwindigkeitspotential">Geschwindigkeitspotentials</a>. Dieser Artikel setzt weder Viskositäts- noch Wirbelfreiheit der Strömung voraus.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Betrachtet wird eine ebene, dichtebeständige und stationäre Strömung mit einem ortsabhängigen aber nicht zeitabhängigen weil stationärem Geschwindigkeitsfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}})\,.}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}})\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1b5b0817a01f26e681364e118352261adf1ea1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}})\,.}" loading="lazy"> Der <a href="Einheitsvektor" title="Einheitsvektor">Einheitsvektor</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {e}}_{z}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f22bb9bba7f871c943e24cdabbcabd1cc75d4bcb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.293ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}_{z}}" loading="lazy"> sei senkrecht zur durchströmten Ebene.

Dann ist die Stromfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi }</annotation>

</semantics>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}=\operatorname {rot} (\psi {\hat {e}}_{z})=\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z}\quad \Rightarrow \quad v_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,,\quad v_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8afe1d6fb44e60e217f946ac87215381c7caaf9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:61.806ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}=\operatorname {rot} (\psi {\hat {e}}_{z})=\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z}\quad \Rightarrow \quad v_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,,\quad v_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

berechnet. Die Operatoren „rot“ und „grad“ stehen für die <a href="Rotation_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Rotation (Mathematik)">Rotation</a> bzw. den <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradient</a> und das Rechenzeichen „×“ bildet das <a href="Kreuzprodukt" title="Kreuzprodukt">Kreuzprodukt</a>. Die linke Gleichung ist von dem in der Ebene gewählten Koordinatensystem unabhängig während die rechten ein <a href="Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesisches Koordinatensystem</a> voraussetzen, in dem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{x}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704b7ad1ece77840fde455daa6d2e51e64282b5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.3ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{x}}" loading="lazy"> die Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{y}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/922aa64dad09633a401e14be9b4389795835cd8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.177ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle v_{y}}" loading="lazy"> diejenige in y-Richtung ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften_von_mit_Stromfunktionen_beschriebenen_Strömungen">Eigenschaften von mit Stromfunktionen beschriebenen Strömungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stromlinien">Stromlinien</h3></div>

Der Gradient der Stromfunktion ist wegen

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {grad} (\psi )\cdot {\vec {v}}=\operatorname {grad} (\psi )\cdot (\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5c32e8890d5cc346e6b6860f69454a95646e199.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.39ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {grad} (\psi )\cdot {\vec {v}}=\operatorname {grad} (\psi )\cdot (\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z})=0}" loading="lazy"></dd></dl>

senkrecht zur Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit ist <a href="Per_definitionem" class="mw-redirect" title="Per definitionem">per definitionem</a> auf jeder Stromlinie tangential zu ihr, so dass sich der Wert der Stromfunktion auf einer Stromlinie nicht ändert. Das berechnet sich auch aus der Definition der Stromlinie und einem ihrer <a href="Linienelement" class="mw-redirect" title="Linienelement">Linienelemente</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {x}}={\vec {v}}\mathrm {d} t\,,}">

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {x}}={\vec {v}}\mathrm {d} t\,,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b300e32bcb3240740314b50f317ca93b9c4247a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.062ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {x}}={\vec {v}}\mathrm {d} t\,,}" loading="lazy"> für die also definitionsgemäß <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}\parallel \mathrm {d} {\vec {x}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}\parallel \mathrm {d} {\vec {x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b71576e250cf397048c7ad334b2d828eff36547.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.25ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}\parallel \mathrm {d} {\vec {x}}}" loading="lazy"> oder, gleichbedeutend, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}\times \mathrm {d} {\vec {x}}={\vec {0}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}\times \mathrm {d} {\vec {x}}={\vec {0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aacd21dadd8ac1dbf93e7099d7522a9197bcb4d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.899ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}\times \mathrm {d} {\vec {x}}={\vec {0}}}" loading="lazy"> gilt:

<mtr>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

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<mover>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

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</mover>

</mrow>

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</msub>

</mtd>

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</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

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<mrow>

</mrow>

<mrow>

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</mfrac>

</mrow>

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<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}\times \mathrm {d} {\vec {x}}=(\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z})\times \mathrm {d} {\vec {x}}=(\operatorname {grad} (\psi )\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}){\hat {e}}_{z}=\mathrm {d} \psi {\hat {e}}_{z}=&{\vec {0}}\\\Rightarrow \quad \mathrm {d} \psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\mathrm {d} y=&0\,.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4066da1f18febaa34c68f0f5e5bf8f8a4ccd42dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:62.946ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}\times \mathrm {d} {\vec {x}}=(\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z})\times \mathrm {d} {\vec {x}}=(\operatorname {grad} (\psi )\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}){\hat {e}}_{z}=\mathrm {d} \psi {\hat {e}}_{z}=&{\vec {0}}\\\Rightarrow \quad \mathrm {d} \psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\mathrm {d} y=&0\,.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Entlang einer Stromlinie ist der Wert der Stromfunktion also konstant.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kritische_Punkte_der_Stromfunktion">Kritische Punkte der Stromfunktion</h3></div>

In <a href="Kritischer_Punkt_(Mathematik)" title="Kritischer Punkt (Mathematik)">kritischen Punkten</a> der Stromfunktion verschwindet ihr Gradient, dessen Komponenten die Geschwindigkeitskomponenten sind. In den kritischen Punkten der Stromfunktion herrscht also Stillstand. Wegen der <a href="Haftbedingung" title="Haftbedingung">Haftbedingung</a> ist das in linear-viskosen Fluiden auf Wänden überall der Fall. Betrachtet werden deshalb nur kritische Punkte im Fluid abseits von Wänden. Ist der kritische Punkt ein <a href="Extrempunkt" class="mw-redirect" title="Extrempunkt">Extrempunkt</a> (kein <a href="Sattelpunkt" title="Sattelpunkt">Sattelpunkt</a>), dann sind die Höhenlinien der Stromfunktion, also die Stromlinien, in seiner Umgebung geschlossene Kurven. Ein Maximum der Stromfunktion wird gegen den Uhrzeigersinn, ein Minimum im Uhrzeigersinn umströmt<a href="#cite_note-1">[L 1]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dichtebeständigkeit">Dichtebeständigkeit</h3></div>

Wenn das Geschwindigkeitsfeld einer ebenen Strömung durch eine Stromfunktion gegeben ist, dann gilt:

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=\operatorname {div(rot} (\psi {\hat {e}}_{z}))=0\,,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9da8ba3f5035e3fefb5cae0abcf745e34a11f1d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.693ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=\operatorname {div(rot} (\psi {\hat {e}}_{z}))=0\,,}" loading="lazy"></dd></dl>

denn jedes Rotationsfeld ist divergenzfrei. Der Operator „div“ berechnet die <a href="Divergenz_eines_Vektorfeldes" title="Divergenz eines Vektorfeldes">Divergenz eines Vektorfeldes</a>. In einer divergenzfreien Strömung verschwindet auf Grund der <a href="Kontinuumsmechanik#Massenbilanz" title="Kontinuumsmechanik">Massenbilanz</a> überall die <a href="Substantielle_Ableitung" title="Substantielle Ableitung">substantielle Zeitableitung</a> der Dichte, die daher mindestens zeitlich konstant ist. In einem inkompressiblen Fluid ist die Dichte auch räumlich konstant und das Strömungsfeld jedenfalls divergenzfrei. Die Annahme der Inkompressibilität ist für Flüssigkeiten bei moderaten Drücken und für Gasströmungen weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit eine häufig sinnvolle Näherung.

Eine divergenzfreie Strömung enthält weder Quellen noch Senken, so dass unter den gegebenen Voraussetzungen Stromlinien im Inneren der Flüssigkeit weder beginnen noch enden können. Die Stromlinien sind also entweder geschlossen oder laufen auf den Rand.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rotation_der_Strömung">Rotation der Strömung</h3></div>

Die <a href="Rotation_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Rotation (Mathematik)">Rotation</a> des Geschwindigkeitsfeldes hat im ebenen Fall nur eine Komponente senkrecht zur Ebene<a href="#cite_note-2">[F 1]</a>:

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

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</mrow>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {v}}=\operatorname {rot(grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z}))=\operatorname {grad} (\operatorname {grad} (\psi ))\cdot {\hat {e}}_{z}-\operatorname {div} (\operatorname {grad} (\psi )){\hat {e}}_{z}=-\Delta \psi {\hat {e}}_{z}\,,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93e866319942a7da21257444180796582c093273.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:77.222ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {v}}=\operatorname {rot(grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z}))=\operatorname {grad} (\operatorname {grad} (\psi ))\cdot {\hat {e}}_{z}-\operatorname {div} (\operatorname {grad} (\psi )){\hat {e}}_{z}=-\Delta \psi {\hat {e}}_{z}\,,}" loading="lazy"></dd></dl>

denn die Ableitung der Stromfunktion senkrecht zur Ebene verschwindet und somit auch ihr Gradient in dieser Richtung. Das Symbol „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta }" loading="lazy">“ bezeichnet den <a href="Laplace-Operator" title="Laplace-Operator">Laplace-Operator</a>. Speziell in kartesischen Koordinaten berechnet sich:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {v}}=\left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right){\hat {e}}_{z}=\left(-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\right){\hat {e}}_{z}=-\Delta \psi {\hat {e}}_{z}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8cf67599624685aae66e777e3f320ddc0cb017a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:60.392ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {v}}=\left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right){\hat {e}}_{z}=\left(-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\right){\hat {e}}_{z}=-\Delta \psi {\hat {e}}_{z}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

In wirbelfreien Strömungen, wie es Potentialströmungen sind, gilt also die <a href="Laplace-Gleichung" title="Laplace-Gleichung">Laplace-Gleichung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \psi =0\,.}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \psi =0\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786067fbb2a0eb325cb6665102352670fbc4734b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.744ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta \psi =0\,.}" loading="lazy"> Hierauf wird, wie eingangs angekündigt, an dieser Stelle nicht weiter eingegangen, sondern auf die Artikel zum Geschwindigkeitspotential und zur Potentialströmung verwiesen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Volumenstrom_zwischen_Stromlinien">Volumenstrom zwischen Stromlinien</h3></div>

Der Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien ist überall gleich. Dies wird anhand zweier Stromlinien gezeigt, auf denen die Stromfunktion die Werte ψ0 bzw. ψ1 annimmt. Um den Volumenstrom zu berechnen, der zwischen diesen beiden Stromlinien hindurchtritt, wird eine Linie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}(s)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}(s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d79d9c39afa39dc3b78b4ac6421518981de4aab4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.229ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}(s)}" loading="lazy"> mit der Bogenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s\in [0,l]\,,\;\psi ({\vec {x}}(0))=\psi _{0}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s\in [0,l]\,,\;\psi ({\vec {x}}(0))=\psi _{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64eeaa0f869501c76e73290e05d9ad2c5bfce2dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.47ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s\in [0,l]\,,\;\psi ({\vec {x}}(0))=\psi _{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi ({\vec {x}}(l))=\psi _{1}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi ({\vec {x}}(l))=\psi _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a72dc23c6f6a776213a6386ce538c005766dddcd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.821ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi ({\vec {x}}(l))=\psi _{1}}" loading="lazy"> definiert, die also auf der einen Stromlinie beginnt und auf der anderen Stromlinie endet, siehe Bild. Die Parametrisierung mit der Bogenlänge bewirkt, dass l die Länge der Kurve ist und der Tangentenvekor den Betrag eins hat: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |{\vec {x}}'(s)|=1\,.}">

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |{\vec {x}}'(s)|=1\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/25786bf1caf2c7f9aef46ab45304b9b233b4819a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.503ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle |{\vec {x}}'(s)|=1\,.}" loading="lazy"> Der Volumenstrom <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {v}}_{01}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {v}}_{01}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72a0638bf619e2072ab7fc8ddede5f12b831b816.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.103ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {v}}_{01}}" loading="lazy">, der über diese Linie tritt, berechnet sich mit einem <a href="Kurvenintegral" title="Kurvenintegral">Kurvenintegral</a> und der Normale an die Kurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {n}}={\vec {x}}'\times {\hat {e}}_{z}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {n}}={\vec {x}}'\times {\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59d6f76659578e84bd8ff2e36b774d21cb1d722a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.641ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\hat {n}}={\vec {x}}'\times {\hat {e}}_{z}}" loading="lazy"> zu

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</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}_{01}=&\int _{0}^{l}{\vec {v}}\cdot {\hat {n}}\mathrm {d} s=\int _{0}^{l}(\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z})\cdot {\hat {n}}\mathrm {d} s=\int _{0}^{l}(\underbrace {{\hat {e}}_{z}\times {\hat {n}}} _{{\vec {x}}'})\cdot \operatorname {grad} (\psi )\mathrm {d} s\\=&\int _{0}^{l}\operatorname {grad} (\psi )\cdot \underbrace {{\vec {x}}'\mathrm {d} s} _{=\mathrm {d} {\vec {x}}}=\int _{{\vec {x}}(0)}^{{\vec {x}}(l)}\operatorname {grad} (\psi )\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}=\int _{\psi _{0}}^{\psi _{1}}\mathrm {d} \psi =\psi _{1}-\psi _{0}\,.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e36a49a6e27f1cf7d57c30acce0ec1c8646aae06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.171ex; width:69.974ex; height:17.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}_{01}=&\int _{0}^{l}{\vec {v}}\cdot {\hat {n}}\mathrm {d} s=\int _{0}^{l}(\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z})\cdot {\hat {n}}\mathrm {d} s=\int _{0}^{l}(\underbrace {{\hat {e}}_{z}\times {\hat {n}}} _{{\vec {x}}'})\cdot \operatorname {grad} (\psi )\mathrm {d} s\\=&\int _{0}^{l}\operatorname {grad} (\psi )\cdot \underbrace {{\vec {x}}'\mathrm {d} s} _{=\mathrm {d} {\vec {x}}}=\int _{{\vec {x}}(0)}^{{\vec {x}}(l)}\operatorname {grad} (\psi )\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}=\int _{\psi _{0}}^{\psi _{1}}\mathrm {d} \psi =\psi _{1}-\psi _{0}\,.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Unabhängig vom speziellen Kurvenverlauf ist der Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien überall gleich. Wenn die Linie auf derselben Stromlinie startet und endet, dann verschwindet der über sie hinweglaufende Volumenstrom. Wenn die gewählte Linie ein Stück einer Stromlinie ist, dann zeigt sich, dass an keiner Stelle einer Stromlinie Fluid über sie hinwegströmt. Eine Stromlinie wirkt wie eine undurchdringliche Wand.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bestimmungsgleichungen_für_die_Stromfunktion">Bestimmungsgleichungen für die Stromfunktion</h2></div>

Nicht jede Stromfunktion repräsentiert eine physikalisch realistische Strömung. Damit die Stromfunktion im Einklang mit den physikalischen Gesetzen ist, muss sie bei Viskositätsfreiheit den <a href="Eulersche_Gleichungen_(Str%C3%B6mungsmechanik)" class="mw-redirect" title="Eulersche Gleichungen (Strömungsmechanik)">Euler-Gleichungen</a> und bei linearer <a href="Viskosit%C3%A4t" title="Viskosität">Viskosität</a> den <a href="Navier-Stokes-Gleichungen#Navier-Stokes-Gleichungen_für_inkompressible_Fluide" title="Navier-Stokes-Gleichungen">Navier-Stokes-Gleichungen</a> gehorchen, aus denen sich – wie sich zeigt – die Stromfunktion unabhängig vom Druck berechnen lässt. In einem konservativen Schwerefeld gestaltet sich die Suche nach der Stromfunktion besonders einfach. Der Druck im Fluid kann dann aus der Stromfunktion abgeleitet werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Viskositätsfreie_Fluide">Viskositätsfreie Fluide</h3></div>

Die <a href="Eulersche_Gleichungen_(Str%C3%B6mungsmechanik)" class="mw-redirect" title="Eulersche Gleichungen (Strömungsmechanik)">Euler-Gleichungen</a> liefern über die Bildung der Rotation eine Gleichung für die Stromfunktion:

<mtr>

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</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} \left(\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)\right)=&\operatorname {rot} ({\vec {k}})\\\Rightarrow \quad [\operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )]\cdot {\hat {e}}_{z}=&\operatorname {rot} ({\vec {k}})\cdot {\hat {e}}_{z}\,.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c70e368d6785410bbc34b52d73254a64cf7f6c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:45.247ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} \left(\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)\right)=&\operatorname {rot} ({\vec {k}})\\\Rightarrow \quad [\operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )]\cdot {\hat {e}}_{z}=&\operatorname {rot} ({\vec {k}})\cdot {\hat {e}}_{z}\,.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die letzte Gleichung muss die Stromfunktion erfüllen, damit sie eine physikalisch realistische Strömung beschreibt.

<td>Beweis

</td></tr>

<tr>

<td>Ausnutzung der <a href="Formelsammlung_Tensoranalysis#Grassmann-Entwicklung" title="Formelsammlung Tensoranalysis"> Grassmann-Entwicklung</a>

<mover>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}={\frac {1}{2}}\operatorname {grad} ({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} ({\vec {v}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a0223d370180cb22e40a6f82fe523d658404e37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:39.04ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}={\frac {1}{2}}\operatorname {grad} ({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} ({\vec {v}})}" loading="lazy"></dd></dl>

zeigt bei der Bildung der Rotation in den Euler-Gleichungen:

<mtr>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} {\vec {k}}=&\operatorname {rot} \left(\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)\right)=\operatorname {rot} \left({\frac {1}{2}}\operatorname {grad} ({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} ({\vec {v}})\right)\\=&\operatorname {rot(rot} ({\vec {v}})\times {\vec {v}})\,,\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f531274017c94b480c39335a43892af77bf5bac5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:72.395ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} {\vec {k}}=&\operatorname {rot} \left(\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)\right)=\operatorname {rot} \left({\frac {1}{2}}\operatorname {grad} ({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} ({\vec {v}})\right)\\=&\operatorname {rot(rot} ({\vec {v}})\times {\vec {v}})\,,\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

denn Gradientenfelder sind immer rotationsfrei. Mit der Produktregel

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {rot} ({\vec {f}}\times {\vec {g}})=\operatorname {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {g}}-\operatorname {div} ({\vec {f}}){\vec {g}}+\operatorname {div} ({\vec {g}}){\vec {f}}-\operatorname {grad} ({\vec {g}})\cdot {\vec {f}}}</annotation>

</semantics>

entwickelt sich daraus:

<mtr>

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</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} {\vec {k}}=&\operatorname {grad} (\operatorname {rot} ({\vec {v}}))\cdot {\vec {v}}-\underbrace {\operatorname {div} (\operatorname {rot} ({\vec {v}}))} _{=0}{\vec {v}}+\underbrace {\operatorname {div} ({\vec {v}})} _{=0}\operatorname {rot} ({\vec {v}})-\underbrace {\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot \operatorname {rot} ({\vec {v}})} _{={\vec {0}}}\\=&\operatorname {grad} (\operatorname {rot} ({\vec {v}}))\cdot {\vec {v}}\,,\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5106720fa61e874b873dbe38cdd62ffabe18caa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:71.232ex; height:10.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} {\vec {k}}=&\operatorname {grad} (\operatorname {rot} ({\vec {v}}))\cdot {\vec {v}}-\underbrace {\operatorname {div} (\operatorname {rot} ({\vec {v}}))} _{=0}{\vec {v}}+\underbrace {\operatorname {div} ({\vec {v}})} _{=0}\operatorname {rot} ({\vec {v}})-\underbrace {\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot \operatorname {rot} ({\vec {v}})} _{={\vec {0}}}\\=&\operatorname {grad} (\operatorname {rot} ({\vec {v}}))\cdot {\vec {v}}\,,\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

denn Rotationsfelder sind immer divergenzfrei und der Geschwindigkeitsgradient besitzt keine Komponente in êz-Richtung. Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {v}}=-\Delta \psi {\hat {e}}_{z}\,,\;{\vec {v}}=\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z}}">

<mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {v}}=-\Delta \psi {\hat {e}}_{z}\,,\;{\vec {v}}=\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3671e492faaaefc2b5334acd139295efa070362.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.515ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {v}}=-\Delta \psi {\hat {e}}_{z}\,,\;{\vec {v}}=\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z}}" loading="lazy"> und der Identität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {grad} (f{\hat {e}}_{z})={\hat {e}}_{z}\otimes \operatorname {grad} (f)\,,}">

<msub>

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</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {grad} (f{\hat {e}}_{z})={\hat {e}}_{z}\otimes \operatorname {grad} (f)\,,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d665a10dd24c12d5a2a5aee0a31c2e81cc70c52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.793ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {grad} (f{\hat {e}}_{z})={\hat {e}}_{z}\otimes \operatorname {grad} (f)\,,}" loading="lazy"> worin „⊗“ das <a href="Dyadisches_Produkt" title="Dyadisches Produkt">dyadische Produkt</a> bildet, liefert das:

<mtr>

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}-\operatorname {rot} {\vec {k}}=&\operatorname {grad} (\Delta \psi {\hat {e}}_{z})\cdot {\vec {v}}=[{\hat {e}}_{z}\otimes \operatorname {grad} (\Delta \psi )]\cdot (\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z})\\=&[\operatorname {grad} (\Delta \psi )\cdot (\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z})]{\hat {e}}_{z}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2dff09927f64ebd8fba2afbfd5c559e2d540d7b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:60.699ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}-\operatorname {rot} {\vec {k}}=&\operatorname {grad} (\Delta \psi {\hat {e}}_{z})\cdot {\vec {v}}=[{\hat {e}}_{z}\otimes \operatorname {grad} (\Delta \psi )]\cdot (\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z})\\=&[\operatorname {grad} (\Delta \psi )\cdot (\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z})]{\hat {e}}_{z}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

oder

<msub>

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )]\cdot {\hat {e}}_{z}=\operatorname {rot} ({\vec {k}})\cdot {\hat {e}}_{z}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9372608f92896e338caa4a444b0fc46dcda8ea6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.849ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle [\operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )]\cdot {\hat {e}}_{z}=\operatorname {rot} ({\vec {k}})\cdot {\hat {e}}_{z}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

In kartesischen Koordinaten berechnet sich speziell

<mrow>

<mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )=\left({\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial y}}-{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial x}}\right){\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6652d313286ed72e47ae3be85f1aa7ebff0e9047.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:51.061ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )=\left({\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial y}}-{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial x}}\right){\hat {e}}_{z}}" loading="lazy"></dd></dl>

Auf der rechten Seite der Gleichung steht in den großen Klammern die <a href="Poisson-Klammer" title="Poisson-Klammer">Poisson-Klammer</a> der Stromfunktion ψ mit Δψ.

</td></tr></tbody></table>

In einem konservativen Beschleunigungsfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {k}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {k}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ccd4b98d198d6538010ae815ee1199baabd3493.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {k}}}" loading="lazy">, wie das Schwerefeld eines ist, kann

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {k}}=-\operatorname {grad} \,V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cea022c69d829edfa4af4c410c10cafaa3aecb05.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.595ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {k}}=-\operatorname {grad} \,V}" loading="lazy"></dd></dl>

mit einem <a href="Potential_(Physik)" title="Potential (Physik)">Potential</a> V angenommen werden. Ein solches Beschleunigungsfeld ist rotationsfrei: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {rot} \,{\vec {k}}={\vec {0}}\,.}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {rot} \,{\vec {k}}={\vec {0}}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46fabb57660e379aed07b7ccdfb75121f6c81d68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.259ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {rot} \,{\vec {k}}={\vec {0}}\,.}" loading="lazy"> Umgekehrt existiert nach dem <a href="Poincar%C3%A9-Lemma" title="Poincaré-Lemma">Poincaré-Lemma</a> bei jedem rotationsfreien Vektorfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {k}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {k}}}</annotation>

</semantics>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )={\vec {0}}\,,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a29448c4d3c05780a90edbb8656f455e0811faa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.774ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )={\vec {0}}\,,}" loading="lazy"></dd></dl>

die mit

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \psi =f(\psi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95c2d8ee234880ce450c6eec7d77821f38e29233.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.149ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \psi =f(\psi )}" loading="lazy"></dd></dl>

und einer beliebigen Funktion f immer erfüllt wird:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )=\operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (f(\psi ))=\operatorname {grad} (\psi )\times {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \psi }}\operatorname {grad} (\psi )={\vec {0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/005a3684b3a9784a4655e0fb2d069d14165ffb34.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:75.141ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )=\operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (f(\psi ))=\operatorname {grad} (\psi )\times {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \psi }}\operatorname {grad} (\psi )={\vec {0}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Für die Funktion f gibt es mehrere Möglichkeiten<a href="#cite_note-Bestehorn74-3">[L 2]</a>:

<ul><li>f=0 liefert die <a href="Laplace-Gleichung" title="Laplace-Gleichung">Laplace-Gleichung</a>, die auf die rotationsfreien Potentialströmungen führt.</li>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\psi )=-c^{2}\psi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62dca2b2c200ed652219896fcb33dd019ae5ec02.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.082ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(\psi )=-c^{2}\psi }" loading="lazy"> liefert die <a href="Helmholtz-Gleichung" title="Helmholtz-Gleichung">Helmholtz-Gleichung</a>, die von Wellenfunktionen der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (x,y)=A\cos(c{\hat {e}}\cdot {\vec {x}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (x,y)=A\cos(c{\hat {e}}\cdot {\vec {x}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/453b2cc3f0a3f026aa00944972f9559370da8554.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.298ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi (x,y)=A\cos(c{\hat {e}}\cdot {\vec {x}})}" loading="lazy"> mit beliebigem Einheitsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {e}}\,,\;{\vec {x}}=(x,y)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}\,,\;{\vec {x}}=(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/068e090e6ae2c94702e03dd5cd94dfbac560bf9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.114ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}\,,\;{\vec {x}}=(x,y)}" loading="lazy"> und beliebiger Amplitude <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> gelöst wird. Eine Überlagerung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> solchen Wellen mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {e}}=(\cos \alpha _{n},\sin \alpha _{n})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}=(\cos \alpha _{n},\sin \alpha _{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfd9552fd4ba02ffd2c3ecb66b093894a6c189d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.386ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}=(\cos \alpha _{n},\sin \alpha _{n})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{n}=\pi (n-1)/N}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{n}=\pi (n-1)/N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a53d217044518589f8cdf502f88e2beccbd9e7e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.569ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{n}=\pi (n-1)/N}" loading="lazy"> sowie gleichen Amplituden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ergibt parallele Streifen, periodisch rechts und links drehende Wirbel oder bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N>3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N>3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58142fc1b68b5bceaaf94ee3a3c997f2aa45367c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N>3}" loading="lazy"> kompliziertere Strukturen, die eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eacbd5b0e609e1f3d7da751ac0d50113d27d22aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.226ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2N}" loading="lazy">-zählige Rotationssymmetrie aufweisen. Erhält jede der summierten Wellen eine eigene, zufällig gewählte Amplitude <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">, dann können sich unregelmäßige Wirbelstrukturen ergeben. Die Funktionen „sin“ und „cos“ berechnen den <a href="Sinus_und_Cosinus" class="mw-redirect" title="Sinus und Cosinus">Sinus und Cosinus</a>.</li>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\psi )=e^{-2\psi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5938c16ac55a15061b71fa8bb920a0b5715cb96d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.186ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(\psi )=e^{-2\psi }}" loading="lazy"> mit der <a href="Eulersche_Zahl" title="Eulersche Zahl">eulerschen Zahl</a> e liefert die Stuart-Gleichung, die eine exakte Lösung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (x,y)=\ln(c\cosh y+{\sqrt {c^{2}-1}}\cos x)}">

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (x,y)=\ln(c\cosh y+{\sqrt {c^{2}-1}}\cos x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b814b69548060ade605a5f647df0c476ef671e1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.472ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \psi (x,y)=\ln(c\cosh y+{\sqrt {c^{2}-1}}\cos x)}" loading="lazy"> mit c ≥ 1 besitzt, die mit dem <a href="Nat%C3%BCrlicher_Logarithmus" class="mw-redirect" title="Natürlicher Logarithmus">Natürlichen Logarithmus</a> „ln“, dem <a href="Sinus_hyperbolicus_und_Kosinus_hyperbolicus" title="Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus">Cosinus hyperbolicus</a> „cosh“ und der bereits oben vorkommenden Cosinusfunktion „cos“ gebildet wird. Diese Stromfunktion stellt eine in x-Richtung verlaufende Wirbelstraße dar, deren Wirbeldichte von der Konstanten c bestimmt wird, siehe das Beispiel unten.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Linear_viskose_Fluide">Linear viskose Fluide</h3></div>

Die Stromfunktion kann auch in ebenen Strömungsproblemen inkompressibler <a href="Newtonsches_Fluid" title="Newtonsches Fluid">linear-viskoser Fluide</a> angewendet werden<a href="#cite_note-4">[L 3]</a>, in denen die Navier-Stokes-Gleichungen gelten. Es ergibt sich eine nicht-lineare Differentialgleichung vierter Ordnung:

<mtr>

<mtd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\nu \Delta \Delta \psi +[\operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )]\cdot {\hat {e}}_{z}=&\operatorname {rot} ({\vec {k}})\cdot {\hat {e}}_{z}\\\Rightarrow \quad \nu \Delta \Delta \psi +{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial y}}-{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial x}}=&{\frac {\partial k_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial k_{x}}{\partial y}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a689c9a434e172d7b93b998d4c518c26b068e988.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:51.128ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\nu \Delta \Delta \psi +[\operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )]\cdot {\hat {e}}_{z}=&\operatorname {rot} ({\vec {k}})\cdot {\hat {e}}_{z}\\\Rightarrow \quad \nu \Delta \Delta \psi +{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial y}}-{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial x}}=&{\frac {\partial k_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial k_{x}}{\partial y}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die obere Gleichung ist vom Koordinatensystem in der Ebene unabhängig und die untere ergibt sich im Fall eines kartesischen Koordinatensystems. Der Materialparameter ν ist die <a href="Kinematische_Viskosit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Kinematische Viskosität">kinematische Viskosität</a> und wenn diese verschwindet, ergibt sich die Bestimmungsgleichung im Fall der viskositätsfreien Fluide.

<th>Beweis

</th></tr>

<tr>

<td>Wie im Abschnitt <a href="#Bestimmungsgleichungen_für_die_Stromfunktion">#Bestimmungsgleichungen für die Stromfunktion</a> oben berechnet sich in kartesischen Koordinaten:

<mtr>

<mtd>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot(grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}})=&\operatorname {grad(rot} ({\vec {v}}))\cdot {\vec {v}}=\{-\operatorname {grad} (\Delta \psi {\hat {e}}_{z})\cdot [\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z}]\}{\hat {e}}_{z}\\=&\{[\operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )]\cdot {\hat {e}}_{z}\}{\hat {e}}_{z}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ae59c05c12a0aa2615310f329a7f2754e7693c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:71.468ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot(grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}})=&\operatorname {grad(rot} ({\vec {v}}))\cdot {\vec {v}}=\{-\operatorname {grad} (\Delta \psi {\hat {e}}_{z})\cdot [\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z}]\}{\hat {e}}_{z}\\=&\{[\operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )]\cdot {\hat {e}}_{z}\}{\hat {e}}_{z}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Ferner wird

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {rot} (\Delta {\vec {v}})=\Delta \operatorname {rot} ({\vec {v}})=-\Delta \Delta \psi {\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2155a0ce7161d7492e978d87d0d99c780b3b22e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.869ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {rot} (\Delta {\vec {v}})=\Delta \operatorname {rot} ({\vec {v}})=-\Delta \Delta \psi {\hat {e}}_{z}}" loading="lazy"></dd></dl>

bereitgestellt. Bildung der Rotation in den Navier-Stokes-Gleichungen für inkompressible Fluide liefert im stationären Fall:

<mtr>

<mtd>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mtd>

<mtd>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot(grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}})=&-{\frac {1}{\rho }}\underbrace {\operatorname {rot(grad} (p))} _{={\vec {0}}}+{\frac {\mu }{\rho }}\operatorname {rot} (\Delta {\vec {v}})+\operatorname {rot} {\vec {k}}\\\rightarrow \{[\operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )]\cdot {\hat {e}}_{z}\}{\hat {e}}_{z}=&-{\frac {\mu }{\rho }}\Delta \Delta \psi {\hat {e}}_{z}+\operatorname {rot} {\vec {k}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0396f5d5e3a5fcebbe6cd1b18c48a666855b3c38.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.049ex; margin-bottom: -0.289ex; width:74.493ex; height:13.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot(grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}})=&-{\frac {1}{\rho }}\underbrace {\operatorname {rot(grad} (p))} _{={\vec {0}}}+{\frac {\mu }{\rho }}\operatorname {rot} (\Delta {\vec {v}})+\operatorname {rot} {\vec {k}}\\\rightarrow \{[\operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )]\cdot {\hat {e}}_{z}\}{\hat {e}}_{z}=&-{\frac {\mu }{\rho }}\Delta \Delta \psi {\hat {e}}_{z}+\operatorname {rot} {\vec {k}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Skalarprodukt mit êz liefert mit der <a href="Kinematische_Viskosit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Kinematische Viskosität">kinematischen Viskosität</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu ={\tfrac {\mu }{\rho }}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu ={\tfrac {\mu }{\rho }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d940353c48a3099082ba6b588b86d600dbda4d8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:6.158ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \nu ={\tfrac {\mu }{\rho }}}" loading="lazy"> das gesuchte:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu \Delta \Delta \psi +[\operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )]\cdot {\hat {e}}_{z}=\operatorname {rot} ({\vec {k}})\cdot {\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d3ed983c37f3d010d4e962ff395a11e67b2c7a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.273ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \nu \Delta \Delta \psi +[\operatorname {grad} (\psi )\times \operatorname {grad} (\Delta \psi )]\cdot {\hat {e}}_{z}=\operatorname {rot} ({\vec {k}})\cdot {\hat {e}}_{z}}" loading="lazy"></dd></dl>

Auswertung der Gradienten und der Rotation in kartesischen Koordinaten führt auf:

<mfrac>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu \Delta \Delta \psi +{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial y}}-{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial x}}={\frac {\partial k_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial k_{x}}{\partial y}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8412b9517b78ce7e4144cf7d5576ea1dd0b9fe78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:45.731ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \nu \Delta \Delta \psi +{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial y}}-{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial x}}={\frac {\partial k_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial k_{x}}{\partial y}}}" loading="lazy"></dd></dl>

</td></tr></tbody></table>

Das System aus drei Gleichungen (Impulsbilanz und Massenbilanz) mit drei Unbekannten (zwei Geschwindigkeiten und der Druck) ist also auf eine nicht-lineare Differentialgleichung vierter Ordnung zurückgeführt. Es kann gezeigt werden, dass Randbedingungen die Stromfunktion eindeutig bestimmen und eine Lösung immer existiert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Randbedingungen">Randbedingungen</h3></div>

Ein Strömungsfeld kann nur bei festen Wänden stationär sein. Die Randbedingungen werden entlang von Linien vorgegeben, die – analog zum Abschnitt über den Volumenstrom – mit Kurven <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}(s)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}(s)}</annotation>

</semantics>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s\in [0,l]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3fa2d4660b2142550c498892f908fed5d4f26f22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.114ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s\in [0,l]}" loading="lazy"> definiert werden. Dann lautet der Tangenteneinheitsvekor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {e}}_{t}={\vec {x}}'(s)}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}_{t}={\vec {x}}'(s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c73d73f39c477d87409e8dfeb16c75aededa57f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.13ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}_{t}={\vec {x}}'(s)}" loading="lazy"> und die Normale der Linie in der Ebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {n}}={\hat {e}}_{t}\times {\hat {e}}_{z}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {n}}={\hat {e}}_{t}\times {\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c757a093938daf0d47222fe5d5dfcece21f5d5b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.744ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {n}}={\hat {e}}_{t}\times {\hat {e}}_{z}}" loading="lazy">. Fließt nirgends Fluid über die Linie, dann ist sie ein Teil einer Stromlinie und die Linie stellt gleichzeitig eine Wand dar.

Die <a href="Dirichlet-Randbedingung" title="Dirichlet-Randbedingung">Dirichlet-Randbedingungen</a> geben den Wert der Stromfunktion entlang einer solchen Linie vor und es folgt:

<msub>

<mover>

</mover>

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</mrow>

</msub>

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</mover>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {grad} (\psi )\cdot {\hat {e}}_{t}=\operatorname {grad} (\psi )\cdot ({\hat {n}}\times {\hat {e}}_{z})=-{\hat {n}}\cdot (\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z})=-{\hat {n}}\cdot {\vec {v}}=-v_{\text{norm}}\,,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d02159a5d34af6ba78e191555594a12bd610522.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:75.595ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {grad} (\psi )\cdot {\hat {e}}_{t}=\operatorname {grad} (\psi )\cdot ({\hat {n}}\times {\hat {e}}_{z})=-{\hat {n}}\cdot (\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z})=-{\hat {n}}\cdot {\vec {v}}=-v_{\text{norm}}\,,}" loading="lazy"></dd></dl>

weswegen mit Dirichlet-Randbedingungen die Geschwindigkeit senkrecht zu Linien festgelegt wird. Ist der Wert der Stromfunktion auf der Linie konstant, dann ist die Linie ein Teil einer Stromlinie und die Normalkomponente der Geschwindigkeit verschwindet entlang der Linie.

Die <a href="Neumann-Randbedingung" title="Neumann-Randbedingung">Neumann-Randbedingungen</a> geben die Ableitungen der Stromfunktion senkrecht zu Linien vor:

<mover>

</mover>

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</mrow>

</mrow>

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<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {grad} (\psi )\cdot {\hat {n}}=\operatorname {grad} (\psi )\cdot ({\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{t})={\hat {e}}_{t}\cdot (\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z})={\hat {e}}_{t}\cdot {\vec {v}}=v_{\text{tang}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fd6ef87217a70ee56b016ecf69f70046205da80.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:70.031ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {grad} (\psi )\cdot {\hat {n}}=\operatorname {grad} (\psi )\cdot ({\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{t})={\hat {e}}_{t}\cdot (\operatorname {grad} (\psi )\times {\hat {e}}_{z})={\hat {e}}_{t}\cdot {\vec {v}}=v_{\text{tang}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Durch die Neumann-Randbedingungen wird also die Geschwindigkeitskomponente tangential zur Linie vorgegeben. Wenn die Linie eine Wand ist, dann ist bei linear-viskosen Fluiden die <a href="Haftbedingung" title="Haftbedingung">Haftbedingung</a> zu beachten, der zufolge die Geschwindigkeit an einer Wand auch in tangentialer Richtung verschwindet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bestimmung_des_Drucks">Bestimmung des Drucks</h2></div>

In einer mit einer Stromfunktion beschriebenen Strömung ist die Dichte konstant und der Druck ergibt sich daher nicht aus einer Zustandsgleichung der Form p = p(ρ), sondern allein aus der Impulsbilanz in Form der Euler-Gleichung oder den Navier-Stokes-Gleichungen und den Randbedingungen, d. h. aus dem bereits berechneten Geschwindigkeitsfeld.

In der hier vorliegenden ebenen Strömung lautet die <a href="Eulersche_Gleichungen_(Str%C3%B6mungsmechanik)#Inkompressibler_Fall" class="mw-redirect" title="Eulersche Gleichungen (Strömungsmechanik)">Bestimmungsgleichung für den Druck</a> bei Viskositätsfreiheit des Fluids in einem kartesischen Koordinatensystem:

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</mover>

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</munderover>

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</msup>

</mrow>

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</mrow>

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<mrow>

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<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta p=\rho \operatorname {div} ({\vec {k}})-\rho \sum _{i,j=1}^{2}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}=\rho \operatorname {div} ({\vec {k}})+2\rho {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-2\rho \left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial y}}\right)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/960cf4ec142a2242c579fd7a46697ead40c1355c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:72.488ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta p=\rho \operatorname {div} ({\vec {k}})-\rho \sum _{i,j=1}^{2}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}=\rho \operatorname {div} ({\vec {k}})+2\rho {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-2\rho \left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial y}}\right)^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

In einem konservativen Beschleunigungsfeld mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {k}}=-\operatorname {grad} (V)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {k}}=-\operatorname {grad} (V)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4e21b4224594c039bec9e004d6da3acb3a455c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.631ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {k}}=-\operatorname {grad} (V)}" loading="lazy"> kann hier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {k}})=-\operatorname {div(grad} (V))=-\Delta V}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {k}})=-\operatorname {div(grad} (V))=-\Delta V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01f875056329f7a5a8d0896f80d324b5a0d5ccc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.213ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {k}})=-\operatorname {div(grad} (V))=-\Delta V}" loading="lazy"> eingesetzt werden.

Bildung der Divergenz in den Navier-Stokes-Gleichungen für inkompressible Fluide liefert mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {div} (\Delta {\vec {v}})=\Delta (\operatorname {div} {\vec {v}})=0\,:}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {div} (\Delta {\vec {v}})=\Delta (\operatorname {div} {\vec {v}})=0\,:}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14255501608f0088dc6f80a2bde8c1793317cd41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.6ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {div} (\Delta {\vec {v}})=\Delta (\operatorname {div} {\vec {v}})=0\,:}" loading="lazy">

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\rho \operatorname {div} \left({\frac {\mathrm {D} {\vec {v}}}{\mathrm {D} t}}\right)=&-\operatorname {div(grad} (p))+\mu \operatorname {div} (\Delta {\vec {v}})+\rho \operatorname {div} {\vec {k}}\\=&-\operatorname {div(grad} (p))+\rho \operatorname {div} {\vec {k}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7b5e3e32581a710ca475537b3216b4efcdf57d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:52.404ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\rho \operatorname {div} \left({\frac {\mathrm {D} {\vec {v}}}{\mathrm {D} t}}\right)=&-\operatorname {div(grad} (p))+\mu \operatorname {div} (\Delta {\vec {v}})+\rho \operatorname {div} {\vec {k}}\\=&-\operatorname {div(grad} (p))+\rho \operatorname {div} {\vec {k}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und die rechte Seite der Gleichung ist identisch zu der in den Euler-Gleichungen. Damit gilt die obige Bestimmungsgleichung für den Druck auch für linear-viskose Fluide.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel">Beispiel</h2></div>

Es wird eine in der x-y-Ebene laufende Strömung betrachtet, die in einem kartesischen Koordinatensystem die Stromfunktion

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (x,y)=\ln(f(x,y))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abc6c799972d0922d7f285198f38c83b39c4f40f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.296ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi (x,y)=\ln(f(x,y))}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x,y)=c\cosh(y)+{\sqrt {c^{2}-1}}\cos(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f7359e7354b53061f8b2252fdc65ba98f6370fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.333ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle f(x,y)=c\cosh(y)+{\sqrt {c^{2}-1}}\cos(x)}" loading="lazy">

mit c > 1 besitzt, worin „ln“ den <a href="Nat%C3%BCrlicher_Logarithmus" class="mw-redirect" title="Natürlicher Logarithmus">Natürlichen Logarithmus</a>, „cosh“ den <a href="Sinus_hyperbolicus_und_Kosinus_hyperbolicus" title="Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus">Cosinus hyperbolicus</a> und„cos“ den <a href="Sinus_und_Cosinus" class="mw-redirect" title="Sinus und Cosinus">Cosinus</a> bildet. Weiter unten werden noch die entsprechenden Sinusfunktionen „sinh“ und „sin“ auftauchen, die zusammen mit den Cosinusfunktionen in den genannten Artikeln erläutert werden. Die Integrationskonstante c reguliert die Wirbeldichte.<a href="#cite_note-Bestehorn74-3">[L 2]</a>

Die interessierende Stromfunktion ist eine Lösung der Stuartgleichung

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \psi =e^{-2\psi }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be3d6b2185e1bd54088a71b7910a7be166359ad3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.034ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \Delta \psi =e^{-2\psi }}" loading="lazy"></dd></dl>

und ist daher im Einklang mit den physikalischen Gesetzen. Weil die <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a> keine Nullstelle besitzt, verschwindet die Rotation in keinem Punkt der Strömung. Diese Stromfunktion beschreibt demnach eine verwirbelte Strömung, siehe Bild.

Wegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (x,-y)=\psi (x,y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (x,-y)=\psi (x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27fd48c3929722552a9d1bca4aca2383b8c381a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.59ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi (x,-y)=\psi (x,y)}" loading="lazy"> sind die Stromlinien symmetrisch zur x-Achse. Zwischen zwei Punkten mit den Koordinaten (x,-y) und (x,+y) verschwindet der Volumenstrom unabhängig von den Werten von x und y. Anders ausgedrückt strömt auf der y-Achse zwischen (0,y) und dem Ursprung genauso viel Fluid von der linken Halbebene in die rechte wie zwischen dem Ursprung und dem Punkt (0,-y) von der rechten Halbebene in die linke.

Das Geschwindigkeitsfeld berechnet sich aus den Ableitungen der Stromfunktion:

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {c\sinh(y)}{f(x,y)}}\quad {\text{und}}\quad v_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}={\frac {{\sqrt {c^{2}-1}}\sin(x)}{f(x,y)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b49fd57517ba22715f5d4f4b38e6a4f9fa340eff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:59.485ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle v_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {c\sinh(y)}{f(x,y)}}\quad {\text{und}}\quad v_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}={\frac {{\sqrt {c^{2}-1}}\sin(x)}{f(x,y)}}}" loading="lazy"></dd></dl>

An den Stellen, wo die Geschwindigkeit verschwindet, hat die Stromfunktion kritische Punkte. Diese kritischen Orte liegen bei y = 0 und x = ±n π, n = 0,1,2,… und sind im Bild mit schwarzen Punkten markiert. In den kritischen Punkten hat die Stromfunktion die Werte

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (\pm n\pi ,0)=\ln \left(c\cosh(0)+{\sqrt {c^{2}-1}}\cos(\pm n\pi )\right)=\ln \left(c+(-1)^{n}{\sqrt {c^{2}-1}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4493a33b263fe1b993617d5e672143fc0cb2c7b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:73.753ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \psi (\pm n\pi ,0)=\ln \left(c\cosh(0)+{\sqrt {c^{2}-1}}\cos(\pm n\pi )\right)=\ln \left(c+(-1)^{n}{\sqrt {c^{2}-1}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Wert für gerades <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> wird auf den roten Stromlinien angenommen und der Wert für ungerades n nur an einzelnen, isolierten Punkten dazwischen. Die Koeffizienten der <a href="Hesse-Matrix" title="Hesse-Matrix">Hesse-Matrix</a>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial y}}\\{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0607ad3e175b7cc04d41ce37666fe1840649e759.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:23.658ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial y}}\\{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

berechnen sich mit der Stromfunktion zu

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}=&{\frac {1-c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-1}}\cos(x)\cosh(y)}{f^{2}(x,y)}}\\{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial y}}=&{\frac {c{\sqrt {c^{2}-1}}\sin(x)\sinh(y)}{f^{2}(x,y)}}\\{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=&{\frac {c^{2}+c{\sqrt {c^{2}-1}}\cos(x)\cosh(y)}{f^{2}(x,y)}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4c735013545094d39fd0c00e9388415d2af744a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -10.171ex; width:42.69ex; height:21.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}=&{\frac {1-c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-1}}\cos(x)\cosh(y)}{f^{2}(x,y)}}\\{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial y}}=&{\frac {c{\sqrt {c^{2}-1}}\sin(x)\sinh(y)}{f^{2}(x,y)}}\\{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=&{\frac {c^{2}+c{\sqrt {c^{2}-1}}\cos(x)\cosh(y)}{f^{2}(x,y)}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

In den kritischen Punkten nimmt die Hesse-Matrix die Form

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\pm n\pi ,0)={\begin{pmatrix}{\frac {1-c^{2}-(-1)^{n}c{\sqrt {c^{2}-1}}}{(c+(-1)^{n}{\sqrt {c^{2}-1}})^{2}}}&0\\0&{\frac {c}{c+(-1)^{n}{\sqrt {c^{2}-1}}}}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff05a70c9f6f11531af788b7e7cf19b36b3f86fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:51.844ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\pm n\pi ,0)={\begin{pmatrix}{\frac {1-c^{2}-(-1)^{n}c{\sqrt {c^{2}-1}}}{(c+(-1)^{n}{\sqrt {c^{2}-1}})^{2}}}&0\\0&{\frac {c}{c+(-1)^{n}{\sqrt {c^{2}-1}}}}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

an. Bei geradem n ist die Hesse-Matrix

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\pm n\pi ,0)={\begin{pmatrix}{\frac {1-c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-1}}}{(c+{\sqrt {c^{2}-1}})^{2}}}&0\\0&{\frac {c}{c+{\sqrt {c^{2}-1}}}}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1731421305f946b96fab36c01b6310b8245769c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.316ex; margin-bottom: -0.189ex; width:43.155ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\pm n\pi ,0)={\begin{pmatrix}{\frac {1-c^{2}-c{\sqrt {c^{2}-1}}}{(c+{\sqrt {c^{2}-1}})^{2}}}&0\\0&{\frac {c}{c+{\sqrt {c^{2}-1}}}}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

wegen c > 1 <a href="Definitheit" title="Definitheit">indefinit</a> und es liegt ein <a href="Sattelpunkt" title="Sattelpunkt">Sattelpunkt</a> vor. Bei ungeradem n ist die Hesse-Matrix

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</mtable>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\pm n\pi ,0)={\begin{pmatrix}{\frac {1-c^{2}+c{\sqrt {c^{2}-1}}}{(c-{\sqrt {c^{2}-1}})^{2}}}&0\\0&{\frac {c}{c-{\sqrt {c^{2}-1}}}}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff23c601c9ba9aec803c29ee132ce6e0bfe63feb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.316ex; margin-bottom: -0.189ex; width:43.155ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla ^{2}\psi (\pm n\pi ,0)={\begin{pmatrix}{\frac {1-c^{2}+c{\sqrt {c^{2}-1}}}{(c-{\sqrt {c^{2}-1}})^{2}}}&0\\0&{\frac {c}{c-{\sqrt {c^{2}-1}}}}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

positiv definit und es liegt ein Minimum vor. Daher werden diese Punkte im Uhrzeigersinn umströmt. Die positive Definitheit ergibt sich aus

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<{\frac {1}{c+{\sqrt {c^{2}-1}}}}<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7970221b1a21dfe294e138d3096a080507ca20a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:21.593ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle 0<{\frac {1}{c+{\sqrt {c^{2}-1}}}}<1}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c-{\sqrt {c^{2}-1}}={\frac {1}{c+{\sqrt {c^{2}-1}}}}}">

<msqrt>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c-{\sqrt {c^{2}-1}}={\frac {1}{c+{\sqrt {c^{2}-1}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ff96aa0b0dcf147590fe568b31033a562cbb354.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:28.404ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle c-{\sqrt {c^{2}-1}}={\frac {1}{c+{\sqrt {c^{2}-1}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

weswegen

<msqrt>

<msup>

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</msqrt>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<c-{\sqrt {c^{2}-1}}<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/550eb92dc01e4fd59aa4a0f74bda3aa67684b698.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.757ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle 0<c-{\sqrt {c^{2}-1}}<1}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<1-(c-{\sqrt {c^{2}-1}})^{2}=2(1-c^{2}+c{\sqrt {c^{2}-1}})}">

<msqrt>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<1-(c-{\sqrt {c^{2}-1}})^{2}=2(1-c^{2}+c{\sqrt {c^{2}-1}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95788b50c488178977a43c24b7fb02ab9c61d7f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.731ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle 0<1-(c-{\sqrt {c^{2}-1}})^{2}=2(1-c^{2}+c{\sqrt {c^{2}-1}})}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Formelsammlung_Tensoranalysis" title="Formelsammlung Tensoranalysis">Formelsammlung Tensoranalysis</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>M. Bestehorn: <cite style="font-style:italic">Hydrodynamik und Strukturbildung</cite>. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6, S. 72 ff.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Stromfunktion&rft.au=M.+Bestehorn&rft.btitle=Hydrodynamik+und+Strukturbildung&rft.date=2006&rft.genre=book&rft.isbn=9783540337966&rft.pages=72ff&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li>Ralf Greve: <cite style="font-style:italic">Kontinuumsmechanik</cite>. Springer, 2003, ISBN 3-540-00760-1.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Stromfunktion&rft.au=Ralf+Greve&rft.btitle=Kontinuumsmechanik&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.isbn=3540007601&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fußnoten">Fußnoten</h2></div>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Hier wird die Produktregel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {rot} ({\vec {f}}\times {\vec {g}})=\operatorname {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {g}}-\operatorname {div} ({\vec {f}}){\vec {g}}+\operatorname {div} ({\vec {g}}){\vec {f}}-\operatorname {grad} ({\vec {g}})\cdot {\vec {f}}}">

<mover>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/975e3e53dea05ff89f3a94c7266b32bf96668082.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:59.43ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {rot} ({\vec {f}}\times {\vec {g}})=\operatorname {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {g}}-\operatorname {div} ({\vec {f}}){\vec {g}}+\operatorname {div} ({\vec {g}}){\vec {f}}-\operatorname {grad} ({\vec {g}})\cdot {\vec {f}}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}=\operatorname {grad} \psi }">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}=\operatorname {grad} \psi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93329058ccb0ee048ae8ab2a81e1a2f5492dab42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.193ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}=\operatorname {grad} \psi }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {g}}={\hat {e}}_{z}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {g}}={\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef1c2c9dbab1dc0f18770aaead482cb72bcddc67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.566ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {g}}={\hat {e}}_{z}}" loading="lazy"> und die Identität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {div} \circ \operatorname {grad} =\Delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {div} \circ \operatorname {grad} =\Delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d14bf97480955bbfd99200677d43f3396c534beb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.667ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {div} \circ \operatorname {grad} =\Delta }" loading="lazy"> ausgenutzt.

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Bestehorn (2006), S. 72

</li>

<li id="cite_note-Bestehorn74-3">↑ <a href="#cite_ref-Bestehorn74_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-Bestehorn74_3-1">b</a> Bestehorn (2006), S. 74f

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> R. Rannacher: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ganymed.math.uni-heidelberg.de/~lehre/notes/num3/numerik3.pdf">Numerische Mathematik 3, Numerik von Problemen der Kontinuumsmechanik.</a> (PDF) Vorlesungsskriptum WS 2004/2005. 16. Mai 2008, S. 132 ff., abgerufen am 4. November 2015 (deutsch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AStromfunktion&rft.title=Numerische+Mathematik+3%2C+Numerik+von+Problemen+der+Kontinuumsmechanik&rft.description=Numerische+Mathematik+3%2C+Numerik+von+Problemen+der+Kontinuumsmechanik&rft.identifier=https%3A%2F%2Fganymed.math.uni-heidelberg.de%2F%7Elehre%2Fnotes%2Fnum3%2Fnumerik3.pdf&rft.creator=R.+Rannacher&rft.language=deutsch">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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